Una raccolta di prove che 1 = 0,999 …

Molte persone che non hanno riscontrato un trattamento dettagliato di infinite sequenze come quelle che potrebbero essere contenute in un corso di calcolo introduttivo potrebbero non capire immediatamente perché sia ​​così. In effetti su questo argomento sono stati discussi molti argomenti molto accesi su Internet, ad esempio è stato un punto di infiammabilità ricorrente sui forum Blizzard per diversi anni e si diffonde in alcune parti di Internet fino ad oggi. Questo post raccoglierà alcune prove del fatto che le due quantità sono, in effetti, uguali, nella speranza di presentare i miei lettori ad alcune nuove idee matematiche.

Come la somma di una serie infinita.

Una serie geometrica è la somma di una sequenza infinita di termini in cui i termini successivi hanno un rapporto costante. Ha la forma:

Dove è espresso in notazione sigma per compattezza. Ai fini di questo articolo stiamo prendendo in considerazione solo sequenze di numeri reali.

Quando il valore assoluto di r è maggiore o uguale a uno, questa serie “esplode” e si spegne all’infinito senza mai avvicinarsi a nessun singolo valore numerico, quindi si dice che divergano. Ma quando il valore assoluto di r (la sua “dimensione” indipendentemente dal fatto che sia positivo o negativo) è inferiore a uno, converge e il suo valore è dato dalla semplice formula:

Le derivazioni di questa formula sono facili da trovare, ad esempio, su Wolfram Alpha. Collegando a = 9 e r = 1/10 la formula ci dà:

Questo è probabilmente il modo più diretto per dimostrarlo, ma serie infinite potrebbero essere inaccessibili a coloro che non hanno avuto il calcolo, quindi potrebbero essere necessari altri approcci.

Una prova basata sull’aritmetica.

La prova può anche essere eseguita con aritmetica di base e alcuni ragionamenti accurati.

Consideriamo innanzitutto due proprietà di base dei numeri razionali. Innanzitutto, anche la somma, la differenza, il prodotto o il quoziente di due numeri razionali è un numero razionale; nel linguaggio tecnico diciamo che i numeri razionali formano un campo. In secondo luogo, qualsiasi numero la cui espansione decimale si ripete è razionale, nel nostro caso 0,999 … è una ripetizione infinita di 9, quindi 0,999 … è razionale.

Supponiamo che q sia un numero razionale diverso da zero e p sia un numero intero compreso tra 0 e 9 tale che:

Non ci interessa cosa sia esattamente q , tutto ciò che conta è che il prodotto di q e 1- 0,999 …, qualunque sia 1–0,999 … risulta essere, ha al massimo una cifra diversa da zero nella sua espansione decimale. Cioè, sembra:

Dove il lato destro deve essere letto dicendo che p è la kesima cifra dopo il punto decimale.

Ora diamo un’occhiata a ciò che sta accadendo nella parte destra. La moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione in qualsiasi campo, compresi i razionali, quindi abbiamo:

Perciò:

Ma abbiamo ipotizzato che:

Quindi ne segue che:

Che è possibile solo per p = 0 . Pertanto q (1–0.999 …) = 0 e abbiamo assunto che q non sia zero, quindi 1–0.999 … = 0 e infine arriviamo a 1 = 0.999 …

Un argomento contraddittorio.

La prova della contraddizione è una tecnica importante in matematica e logica. Per usare la contraddizione per dimostrare una congettura, assumiamo che la congettura sia falsa e da quella premessa raggiungiamo una contraddizione con qualcosa che sappiamo essere vero. Probabilmente l’uso più famoso di questa tecnica è mostrare che la radice quadrata di due non è un numero razionale.

Sappiamo che, qualunque sia 1–0.999 … è un numero razionale. Pertanto, aeb devono essere numeri interi positivi tali che:

Quindi moltiplica ciascun lato di questa equazione per b .

Supponiamo che b sia un numero di k cifre. Perciò:

E così:

Ora potresti essere in grado di vedere cosa sta succedendo qui. Vediamo cosa succede quando distribuiamo il potere di dieci.

Le disuguaglianze sono transitive, quindi questo ci porta a concludere che un <1 .

Ciò contraddice la nostra ipotesi che a sia un numero intero positivo. E poiché 0.999 … non è maggiore di 1 , neanche un numero negativo può essere a. Ma a deve essere un numero intero, quindi l’unica possibilità rimanente è che a = 0. Pertanto 1–0.999 … = 0 , e quindi ancora una volta abbiamo 1 = 0.999 …

Ci sono molte prove molto “facili” che fluttuano su Internet, ad esempio su MathWiki, ma presento questi esempi qui perché secondo me sono particolarmente interessanti o istruttivi. Spero ti sia piaciuto leggere questo, e forse hai imparato qualcosa di nuovo.