Matrices Elimination

Matrices elimination (o il solving system of linear equations ) è la prima e fondamentale abilità in tutta l’algebra lineare. È probabilmente la prima lezione di tutti i tipi di corsi.

Terminologia

Prima di imparare a solving systems of linear equations , è necessario acquisire familiarità con tutte le terminologie fondamentali coinvolte, altrimenti può essere molto difficile passare alla fase successiva.
E in questo caso, il modo migliore per imparare è attraverso Wikipedia.

JFR, i termini principali sono: Gaussian elimination , Gaussian elimination Gauss-Jordan elimination , Augmented Matrix , Elementary Row Operations Elementary matrix , Elementary matrix , Row Echelon Form (REF) , Reduced Row Echelon Form (RREF) , Triangular Form .

Eliminazione gaussiana

È un Row reduction algorithm per risolvere il sistema di equazioni lineari.

Refer to Wiki: Gaussian elimination
Fare riferimento al wiki semplice: eliminazione gaussiana
Esempio: showme.com

Per eseguire l’ Gaussian elimination , i coefficients of the terms in the system of linear equations vengono utilizzati per creare un tipo di matrice chiamata augmented matrix .
Quindi, elementary row operations vengono utilizzate per semplificare la matrice.
L’ obiettivo dell’eliminazione gaussiana è di ottenere la matrice in row-echelon form .
Se una matrice è in row-echelon form , che è anche chiamata Triangular Form .
Alcune definizioni di eliminazione gaussiana affermano che il risultato della matrice deve essere in forma reduced row-echelon form .
L’eliminazione gaussiana che crea un risultato ridotto della matrice di livello di riga è talvolta chiamata Gauss-Jordan elimination .

Per essere più semplici, ecco la struttura:

  • Algoritmo: Gaussian Elimination
  • Passaggio 1: riscrivere il sistema su una Augmented Matrix .
  • Passaggio 2: semplificare la matrice con le Elementary row operations .
  • Risultato:
  • Row Echelon Form or
  • Reduced Echelon Form

E se otteniamo il risultato solo in RREF , quindi il nome dell’algoritmo potrebbe anche essere chiamato:

  • Algoritmo: Gauss-Jordan Elimination
  • Passaggio 1: riscrivere il sistema su una Augmented Matrix .
  • Passaggio 2: semplificare la matrice con le Elementary row operations .
  • Risultato: solo in Reduced Echelon Form

Elementary Row Operations

Le operazioni di riga elementare vengono utilizzate per semplificare la matrice .

I tre tipi di operazioni di riga utilizzate sono:

  • Tipo 1: passaggio da una riga a un’altra.
  • Tipo 2: moltiplicare una riga per un numero diverso da zero.
  • Tipo 3: aggiunta di una riga da un’altra riga . (! Nota: puoi solo AGGIUNGERli ma non sottrarli , ma puoi AGGIUNGERE un negativo)

Operazione confusa: vedere dove è stato messo il negative sign :

Esempio

Supponiamo che l’obiettivo sia quello di trovare la soluzione per il sistema lineare di seguito:

Per prima cosa dobbiamo trasformarlo in forma di Augmented Matrix :

Quindi applichiamo le Elementary Row Operations e otteniamo il Row Echelon Form :

Alla fine, se lo desideriamo, possiamo ulteriormente applicare alcune operazioni di riga per ottenere la matrice nel Reduced Row Echelon Form :

La lettura di questa matrice ci dice che le soluzioni per questo sistema di equazioni si verificano quando x = 2, y = 3 e z = -1.

Row Echelon Form vs. Reduced Row Echelon Form

Fare riferimento a questo video della lezione: REF & RREF.

Non importa se si tratta di una Square Matrix o no, potrebbe esserci una Diagonal o una Diagonal Main diagonal o non puoi affatto disegnare una diagonale.
L’unica cosa che conta è QUELLO CHE SOPRA 1 E QUELLO CHE SOTTO 1.

  • RIF: per ogni colonna, tutti i numeri inferiori a 1 DEVONO ESSERE 0. Non importa quali numeri siano superiori a 1.
  • RREF: per ogni colonna, tutti i numeri sopra e sotto 1 DEVONO ESSERE 0. Non ci importa se non c’è 1 nella colonna.

Augmented Matrix

Significa che mettiamo un’altra colonna nella matrice, che rappresenta il lato destro del sistema di equazioni, i numeri di destra del segno = .

Quando applichiamo l’eliminazione alle Linear equations , operiamo su entrambi i lati contemporaneamente. Ma per i programmi per computer, spesso si applica al lato sinistro e ricorda le operazioni, ag moltiplica un numero o aggiungi equazioni insieme, quando il lato sinistro ha finito, applica le stesse operazioni al lato destro.

Se a una determinata matrice è stato detto che è una Augmented Matrix , quindi dobbiamo supporre che l’ ultima colonna sia la colonna della soluzione .

Equivalent systems & Equivalent Matrices

  • Sistemi equivalenti: sistemi lineari con SAME SOLUTION SET.
  • Matrici equivalenti: due matrici in cui una matrice può essere trasformata nell’altra matrice mediante alcune elementary row operations .

Pivot

O chiamato il Cursor , o Basic o Basic variable .

Fare riferimento a questo video da mathispower4u.

Indica il valore che rappresenta la unknown variable in ogni colonna. Non c’è pivot in una colonna se non riesci a ottenere un 1 in quella colonna.

Free variables

Se non è presente alcun perno in una colonna, ciò significa che questa unknown variable della colonna può essere qualsiasi numero , quindi la chiamiamo free variable .

Pivot columns

I pivots si trovano dopo Row Reduction , quindi tornano alla matrice originale, le colonne CON pivot vengono chiamate pivot columns .

Back Substitution

È semplice: quando risolvi una unknown variable nel Sistema Lineare, ripristini il valore ad altre equazioni. Questo processo viene chiamato Back Substitution .