La somma di Ramanujan: 1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞ = -1/12?

“Di che diavolo stai parlando? Non è assolutamente vero! ”- Mia mamma

Questo è quello che mi ha detto mia mamma quando le ho parlato di questa piccola anomalia matematica. Ed è proprio questo, un’anomalia. Dopotutto, sfida la logica di base. In che modo aggiungere numeri positivi equivale non solo a una frazione negativa, ma a una negativa? Che diavolo?

Prima di iniziare : mi è stato fatto notare che quando parlo della somma in questo articolo, non è nel senso tradizionale della parola. Questo perché tutte le serie di cui mi occupo naturalmente non tendono a un numero specifico, quindi parliamo di un diverso tipo di somme, vale a dire le citazioni di Cesàro. Per chiunque sia interessato alla matematica, le somme di Cesàro assegnano valori ad alcune somme infinite che non convergono nel solito senso. “La somma di Cesàro è definita come il limite, come n tende all’infinito, della sequenza dei mezzi aritmetici delle prime n somme parziali della serie” – Wikipedia. Voglio anche dire che in questo articolo ho a che fare con il concetto di infinito numerabile, un diverso tipo di infinito che si occupa di un insieme infinito di numeri, ma uno in cui se avessi abbastanza tempo potresti contare su qualsiasi numero dell’insieme. Mi permette di usare alcune delle proprietà regolari della matematica come la commutatività nelle mie equazioni (che è un assioma che uso in tutto l’articolo).

Per quelli di voi che non hanno familiarità con questa serie, che è diventata nota come la sommatoria di Ramanujan dopo un famoso matematico indiano di nome Srinivasa Ramanujan, afferma che se si aggiungono tutti i numeri naturali, ovvero 1, 2, 3, 4 e così via, fino all’infinito, scoprirai che è uguale a -1/12. Sì, -0.08333333333.

Non mi credi? Continua a leggere per scoprire come lo provo, dimostrando due affermazioni altrettanto folli:

  1. 1–1 + 1–1 + 1–1 ⋯ = 1/2
  2. 1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯ = 1/4

Prima di tutto, il pane e il burro. È qui che accade la vera magia, in effetti le altre due prove non sono possibili senza questo.

Comincio con una serie, A, che è uguale a 1–1 + 1–1 + 1–1 ripetuta un numero infinito di volte. Lo scriverò come tale:

A = 1–1 + 1–1 + 1–1 ⋯

Poi faccio un piccolo trucco. Porto via A da 1

1-A = 1- (1-1 + 1-1 + 1-1 ⋯)

Fin qui tutto bene? Ora qui è dove avviene la magia. Se semplifico il lato destro dell’equazione, ottengo qualcosa di molto peculiare:

1-A = 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1 ⋯

Ti sembra familiare? Se l’hai perso, questo è A. Sì, lì sul lato destro dell’equazione, c’è la serie con cui abbiamo iniziato. Quindi posso sostituire A con quella parte giusta, fare un po ‘di algebra e boom del liceo!

1-A = A

1-A + A = A + A

1 = 2A

1/2 = A

Questa piccola bellezza è la serie di Grandi, chiamata così dal nome del matematico, filosofo e sacerdote italiano Guido Grandi. Questo è davvero tutto ciò che questa serie ha, e mentre è il mio preferito personale, non c’è una storia interessante o una storia di scoperta dietro questo. Tuttavia , apre la porta alla dimostrazione di molte cose interessanti, tra cui un’equazione molto importante per la meccanica quantistica e persino la teoria delle stringhe. Ma ne parleremo più avanti. Per ora, passiamo alla prova # 2: 1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯ = 1/4 .

Iniziamo come sopra, lasciando che la serie B = 1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯. Quindi possiamo iniziare a giocarci. Questa volta, invece di sottrarre B da 1, lo sottrarremo da A. Matematicamente, otteniamo questo:

AB = (1–1 + 1–1 + 1–1 ⋯) – (1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯)

AB = (1–1 + 1–1 + 1–1) – 1 + 2–3 + 4–5 + 6 ⋯

Quindi mescoliamo un po ‘i termini e vediamo emergere un altro modello interessante.

AB = (1–1) + (–1 + 2) + (1–3) + (–1 + 4) + (1–5) + (–1 + 6)

AB = 0 + 1–2 + 3–4 + 5 ⋯

Ancora una volta, otteniamo la serie con cui abbiamo iniziato e da prima sappiamo che A = 1/2 , quindi usiamo un po ‘di algebra di base e dimostriamo la nostra seconda realtà strabiliante di oggi.

AB = B

A = 2B

1/2 = 2B

1/4 = B

E voilà! Questa equazione non ha un nome di fantasia, dal momento che è stata dimostrata da molti matematici nel corso degli anni mentre è stata contemporaneamente etichettata come un’equazione paradossale. Ciò nonostante, scatenò un dibattito tra gli accademici dell’epoca e aiutò persino ad estendere la ricerca di Eulero sul problema di Basilea e portò a importanti funzioni matematiche come la funzione di Reimann Zeta.

Ora per la ciliegina sulla torta, quella che stavate aspettando, il grosso formaggio. Ancora una volta iniziamo lasciando che la serie C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ⋯, e potresti essere stato in grado di indovinarlo, sottrarremo C da B.

BC = (1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯) – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ⋯)

Poiché la matematica è ancora eccezionale, riorganizzeremo l’ordine di alcuni numeri qui in modo da ottenere qualcosa che sembra familiare, ma probabilmente non sarà quello che sospetti.

BC = (1-2 + 3-4 + 5-6 ⋯) -1-2-3-4-5-6 ⋯

BC = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6) ⋯

BC = 0-4 + 0-8 + 0-12 ⋯

BC = -4-8-12 ⋯

Non è quello che ti aspettavi giusto? Bene, tieni le calze, perché ho un ultimo asso nella manica che ne varrà la pena. Se noti, tutti i termini sul lato destro sono multipli di -4, quindi possiamo estrarre quel fattore costante, ed ecco, otteniamo ciò con cui abbiamo iniziato.

BC = -4 (1 + 2 + 3) ⋯

BC = -4C

B = -3C

E poiché abbiamo un valore per B = 1/4 , inseriamo semplicemente quel valore e otteniamo il nostro magico risultato:

1/4 = -3C

1 / -12 = C o C = -1/12

Ora, perché questo è importante. Bene, per cominciare, è usato nella teoria delle stringhe. Purtroppo non la versione di Stephen Hawking, ma in realtà nella versione originale della teoria delle stringhe (chiamata Bosonic String Theory). Ora, sfortunatamente, la teoria delle stringhe bosoniche è stata in qualche modo superata dall’attuale area di interesse, chiamata teoria delle stringhe supersimmetriche, ma la teoria originale ha ancora i suoi usi nella comprensione delle superstringhe, che sono parti integranti della suddetta teoria aggiornata delle stringhe.

La somma di Ramanujan ha anche avuto un grande impatto nell’area della fisica generale, in particolare nella soluzione al fenomeno noto come Effetto Casimir. Hendrik Casimir ha predetto che date due piastre conduttive non caricate poste nel vuoto, esiste una forza attrattiva tra queste piastre a causa della presenza di particelle di pane virtuale da fluttuazioni quantiche. Nella soluzione di Casimir, usa la somma che abbiamo appena dimostrato per modellare la quantità di energia tra le piastre. E c’è la ragione per cui questo valore è così importante.

Quindi eccolo qui, la sommatoria di Ramanujan, che fu scoperta nei primi anni del 1900, che sta ancora avendo un impatto di quasi 100 anni in molti rami della fisica e può ancora vincere una scommessa contro persone che non sono affatto più sagge.

PS Se sei ancora interessato e vuoi leggere di più, ecco una conversazione con due fisici che cercano di spiegare questa folle equazione e le loro opinioni sulla sua utilità e validità. È bello, corto e molto interessante. https://physicstoday.scitation.org/do/10.1063/PT.5.8029/full/